Un TFG de Matemáticas no tiene población, ni muestra, ni instrumento, ni recogida de datos. La plantilla que circula por tu facultad —introducción, marco teórico, metodología, resultados, discusión— no encaja, y el estudiante que intenta forzarla acaba escribiendo un apartado de «metodología» que dice, con muchas palabras, que leyó libros.

La respuesta corta: en un TFG de Matemáticas, el capítulo de metodología lo sustituyen las preliminares —definiciones, notación y resultados previos que vas a usar—, y el capítulo de resultados lo sustituyen los teoremas con sus demostraciones. El rigor no se demuestra describiendo un procedimiento: se demuestra en cada paso de cada prueba.

¿Qué tipos de TFG de Matemáticas existen?

Casi todos los trabajos caen en uno de estos cuatro moldes, y elegir cuál es el tuyo determina toda la estructura:

La inmensa mayoría de los TFG de grado son del primer tipo, y eso no es un demérito. Nadie espera que un estudiante de cuarto demuestre un teorema nuevo. Lo que se espera es que tome un resultado no trivial, lo entienda de verdad y lo escriba de forma que otro estudiante de tu curso pueda seguirlo. Esa última condición es la nota.

¿Qué estructura tiene entonces?

La estructura estándar de un TFG matemático es esta, y conviene respetarla porque es la que el tribunal espera leer:

1. Introducción. Qué problema abordas, por qué es interesante, qué se sabía antes y qué contiene cada capítulo. Aquí sí va contexto histórico y motivación.
2. Preliminares. Definiciones, notación y resultados previos que usarás sin demostrar. Es el equivalente funcional del marco teórico, pero se escribe como un contrato: todo lo que aparezca después debe apoyarse en algo enunciado aquí.
3. Desarrollo. Uno o varios capítulos con lemas, proposiciones y teoremas, cada uno con su demostración. Este es el cuerpo real del trabajo.
4. Ejemplos, aplicaciones o experimentos. Casos particulares, contraejemplos que delimitan las hipótesis, o resultados numéricos si tu trabajo es computacional.
5. Conclusiones. Qué queda demostrado, qué hipótesis son esenciales y qué preguntas quedan abiertas.
6. Bibliografía. Corta y muy densa. Diez referencias bien usadas valen más que cincuenta citadas de pasada.

¿Y si mi facultad me obliga a poner un apartado de metodología?

Algunas normativas lo exigen porque están escritas para toda la universidad. En ese caso, escríbelo, pero escríbelo con contenido matemático real: qué fuentes primarias seguiste, qué demostraciones reconstruiste desde cero frente a cuáles adaptaste, qué notación unificaste al mezclar textos con convenios distintos, y qué software usaste para las comprobaciones.

Eso es una metodología honesta. Lo que no funciona es rellenar con «se ha empleado una metodología descriptiva de revisión bibliográfica», una frase que en Matemáticas no significa nada y que el tribunal lee como un relleno.

¿Cómo se escribe una demostración para que la acepten?

La diferencia entre un aprobado y un sobresaliente casi siempre está aquí, no en el resultado elegido:

• Enuncia antes de demostrar. Teorema completo, con todas las hipótesis, y después la prueba. Nunca al revés.
• Justifica cada paso no obvio. «Se sigue de la Proposición 2.4» es una justificación. «Es evidente» normalmente significa que no lo has comprobado.
• Vigila dónde usas cada hipótesis. Si terminas una demostración sin haber usado una de las hipótesis del enunciado, o sobra o te has equivocado. Es la primera pregunta que hace un tribunal.
• Separa lo que es tuyo de lo que no. Cada resultado que no demuestres debe llevar su referencia exacta, con número de teorema en la fuente. No basta con citar el libro.
• Da ejemplos que delimiten. Un contraejemplo que muestre que una hipótesis no se puede quitar demuestra comprensión mucho mejor que tres páginas de cálculo.

¿Cómo se clasifica y se busca bibliografía en Matemáticas?

La literatura matemática se organiza con la Mathematics Subject Classification, cuya edición vigente es la MSC2020, una revisión de la MSC2010 elaborada conjuntamente por los servicios de reseñas Mathematical Reviews y Zentralblatt Math. Las áreas se numeran del 00 al 97.

Saber el código de tu área te cambia la búsqueda bibliográfica: en lugar de buscar por palabras clave —que en Matemáticas son ambiguas hasta la desesperación, porque el mismo término significa cosas distintas en dos ramas— filtras por clasificación y encuentras exactamente el vecindario correcto. Pregúntale a tu tutor cuál es el código de tu tema; es la información más útil que te puede dar en la primera reunión.

¿Tengo que escribirlo en LaTeX?

En la práctica, sí. No es una cuestión de gusto: la notación matemática compuesta en un procesador de texto convencional se vuelve inmanejable en cuanto aparecen integrales, subíndices anidados o diagramas, y los entornos de teorema, la numeración automática y las referencias cruzadas son justo lo que este tipo de trabajo necesita.

Si no lo has usado nunca, cuenta con una semana de aprendizaje al principio del TFG, no al final. Antes de decidir el entorno de trabajo, compara Overleaf, LaTeX local y Word para trabajos de Ingeniería y Matemáticas.

¿Cuánto tiene que ocupar?

Menos de lo que crees. Un TFG matemático denso de cuarenta páginas puede valer más que uno de cien lleno de cálculo rutinario reproducido. La extensión la fija tu normativa, pero el criterio real es otro: cada página debe contener algo que el lector no pudiera deducir solo. Si estás copiando desarrollos que están idénticos en el libro de referencia, no estás sumando páginas útiles.

Escribe la parte que no es matemática

Las demostraciones las haces tú, y no hay atajo. Pero un TFG matemático también tiene introducción, motivación, conclusiones, resumen y abstract, y son precisamente los apartados en los que se atascan quienes llevan cuatro años escribiendo solo fórmulas.

Empieza tu TFG en Tesify y resuelve la parte redactada mientras tú te concentras en lo que solo tú puedes hacer: entender y demostrar.

Preguntas frecuentes

¿Tiene que ser original un TFG de Matemáticas?

No en el sentido de aportar un resultado nuevo. Se valora que reconstruyas con rigor una teoría o un teorema que no es trivial y que lo expongas de forma comprensible. La originalidad, si aparece, suele estar en la organización, los ejemplos o el enfoque.

¿Puedo hacer un TFG de Matemáticas con programación?

Sí, es uno de los tipos más habituales. Implementas un algoritmo o un método numérico, analizas su error y su complejidad, y presentas los experimentos. En ese caso el código va en un anexo o en un repositorio, y debe poder ejecutarse.

¿Qué pongo en «resultados» si no tengo datos?

Los teoremas que demuestras son tus resultados. En un trabajo computacional, además, las tablas y gráficas de rendimiento o de error. En ningún caso hace falta inventar un apartado estadístico que tu trabajo no necesita.

¿Cuántas referencias debe tener?

Pocas y muy trabajadas. Es normal que un TFG matemático se apoye en un puñado de monografías y artículos que se citan con precisión de teorema. Lo que se penaliza es citar una fuente sin haberla leído.

¿Necesito comité de ética?

No, si no hay participantes humanos ni datos personales. Es una de las ventajas prácticas de este tipo de trabajo: no tienes que gestionar autorizaciones ni consentimientos y puedes empezar el mismo día.

¿Vale citar apuntes de clase?

Como fuente principal, no. Los apuntes pueden orientarte, pero un TFG se apoya en literatura publicada. Si un resultado solo lo tienes en apuntes, localiza la fuente original: casi siempre está en una monografía estándar del área.

¿Cómo elijo tema si todo me parece o trivial o imposible?

Pide a tu tutor un teorema concreto, no un área. «Estudiar teoría de grafos» no es un TFG; «reconstruir la demostración de un teorema concreto y explorar qué ocurre al debilitar una de sus hipótesis» sí lo es, y además ya trae dentro el capítulo de ejemplos.